În triunghiul isoscel ABC, AB ≡ AC, se duc înălțimile AD ⊥ BC, D ∈ BC și BE ⊥ AC, E ∈ AC. Știind că AB = 25 cm și BC = 40 cm, calculați lungimile segmentelor AD, BE, AE și CE.
Materialul în format docx
matematică, clasa: VII, geometrie
culegere, exerciții și probleme
Titlu: Matematică 7 - partea II
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45, 2015, ediția a 4-a, revizuită
Capitol: Triunghiul dreptunghic
Subcapitol: Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Număr / pagină: 31 / 97
Problema nr.31/ pag. 97
Matematică cls. VII - algebră, geometrie - Partea II / semestru 2
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45
An 2015, ediția a 4-a
Geometrie – Capitolul III. Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
Grad de dificultate: 8
Nu copiați rezolvările! Urmați câte un pas și încercați să le rezolvați singuri!
Pasul I (înțelegerea enunțului problemei):
Pasul II (noțiuni necesare):
- teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
- aria triunghiului: jumătate din produsul unei laturi a triunghiului cu înălțimea corespunzătoare ei.
Pasul III (analiza problemei și reprezentarea matematică - ipoteză, concluzie, desene):
△ABC – triunghi isoscel
AB = AC = 25 cm
BC = 40 cm
----------------|-
AD, BE, AE, CE = ?
---------------||-
Datorită dimensiunilor AB = AC = 25 cm și BC = 40 cm , triunghiul ABC este obtuzunghic, iar înălțimea BE cade pe prelungirea laturii AC.
Pasul IV (rezolvare):
AC
2 = AD
2 + DC
2 ⇒ AD
2 = AC
2 - DC
2 ⇒ AD
2 = 25
2 - 20
2
AD
2 = 625 - 400 = 225 ⇒ AD = 15 cm
A
△ABC = (AD × BC)/2 = (BE × AC)/2 ⇒ BE = 24 cm
AB
2 = BE
2 + AE
2 ⇒ AE
2 = AB
2 - BE
2
AE
2 = 25
2 - 24
2 = 625 - 576 = 49 ⇒ AE = 7 cm
BC
2 = BE
2 + CE
2 ⇒ CE
2 = BC
2 - BE
2
CE
2 = 40
2 - 24
2 = 1600 – 576 = 1024 ⇒ CE = 32 cm
(CE = AC + AE = 25 + 7 = 32 cm)
Observații:
Dacă figura nu se construiește ținând cont de dimensiuni și se construiește un triunghi ascuțitunghic, eroarea apare la calculul lui CE.
Dacă calculăm CE = AC – AE = 25 – 7 = 18 cm, eroarea rămâne nedescoperită.
Dacă calculăm CE cu teorema lui Pitagora
BC
2 = BE
2 + CE
2 ⇒ CE
2 = BC
2 - BE
2
CE
2 = 40
2 - 24
2 = 1600 – 576 = 1024 ⇒ CE = 32 cm
Se observă că CE > AC.