Intrare cont  

           Pagina principală Contact




În triunghiul isoscel ABC, AB ≡ AC, se duc înălțimile AD ⊥ BC, D ∈ BC și BE ⊥ AC, E ∈ AC. Știind că AB = 25 cm și BC = 40 cm, calculați lungimile segmentelor AD, BE, AE și CE.

Materialul în format docx



matematică, clasa: VII, geometrie
culegere, exerciții și probleme
Titlu: Matematică 7 - partea II
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45, 2015, ediția a 4-a, revizuită
Capitol: Triunghiul dreptunghic
Subcapitol: Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Număr / pagină: 31 / 97

Problema nr.31/ pag. 97
Matematică cls. VII - algebră, geometrie - Partea II / semestru 2
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45
An 2015, ediția a 4-a
Geometrie – Capitolul III. Relații metrice în triunghiul dreptunghic.
Grad de dificultate: 8

Nu copiați rezolvările! Urmați câte un pas și încercați să le rezolvați singuri!

Pasul I (înțelegerea enunțului problemei):
Pasul II (noțiuni necesare):
- teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
- aria triunghiului: jumătate din produsul unei laturi a triunghiului cu înălțimea corespunzătoare ei.

Pasul III (analiza problemei și reprezentarea matematică - ipoteză, concluzie, desene):

△ABC – triunghi isoscel
AB = AC = 25 cm
BC = 40 cm
----------------|-
AD, BE, AE, CE = ?
---------------||-

Datorită dimensiunilor AB = AC = 25 cm și BC = 40 cm , triunghiul ABC este obtuzunghic, iar înălțimea BE cade pe prelungirea laturii AC.





Pasul IV (rezolvare):

AC2 = AD2 + DC2 ⇒ AD2 = AC2 - DC2 ⇒ AD2 = 252 - 202
AD2 = 625 - 400 = 225 ⇒ AD = 15 cm

A△ABC = (AD × BC)/2 = (BE × AC)/2 ⇒ BE = 24 cm

AB2 = BE2 + AE2 ⇒ AE2 = AB2 - BE2
AE2 = 252 - 242 = 625 - 576 = 49 ⇒ AE = 7 cm

BC2 = BE2 + CE2 ⇒ CE2 = BC2 - BE2
CE2 = 402 - 242 = 1600 – 576 = 1024 ⇒ CE = 32 cm
(CE = AC + AE = 25 + 7 = 32 cm)

Observații:
Dacă figura nu se construiește ținând cont de dimensiuni și se construiește un triunghi ascuțitunghic, eroarea apare la calculul lui CE.




Dacă calculăm CE = AC – AE = 25 – 7 = 18 cm, eroarea rămâne nedescoperită.
Dacă calculăm CE cu teorema lui Pitagora
BC2 = BE2 + CE2 ⇒ CE2 = BC2 - BE2
CE2 = 402 - 242 = 1600 – 576 = 1024 ⇒ CE = 32 cm
Se observă că CE > AC.